Limit-Türev-İntegral

Limit, türev ve integralin ilk olarak geometrik tanımlarını vererek sizin daha iyi anlamanızı sağlayacağız ve ardından bunları biraz matematikle süsleyip önünüze sereceğiz.

Bir fonksiyonun limiti nasıl bulunur? Limit nedir? Bunun calculus derslerinde duyduğumuz tanjant çizgisi ve eğimle ne alakası var? Türev nedir? Limitle ne ilgisi var? Nerede kullanılırlar? İntegral ne işe yarar? vb. soruları cevaplayacağız.

En basitinden şu fonksiyonu ele alalım:

 

Değişimi bulmak önemlidir çünkü her şey değişir, en basitinden okula giderken belli bir yolu belli bir zamanda alırız ve aldığımız yol zamanın bir fonksiyonudur ve bunun bahsedeceğimiz konularla çok yakından ilgisi var.

Eğer yukarıda ki fonksiyon gibi fonksiyonlarda belli bir noktada ki ortalama değişimi bulmak istiyorsanız y=f(x) fonksiyonunun y ve x in değişimlerine bakıp kolayca söyleyebilirsiniz, x=x0  için y=f(x0)’dır ve x0 da ki Δ kadarlık değişimi h ile gösterirsek x=x0+h için y=f(x0+h)’tır. Bunun zamana göre yol grafiği olduğunu düşünelim ve sizin ortalama hızınızı bulmak için bu değişimi nasıl kullanacağımıza bakalım. x0 ve x0+h aralığında ki ortalama hızınız için Δf/Δxbağıntısını kullanabilirsiniz. Buradan kolayca ortalama hızınızı (f(x0+h)-f(x0))/(x0+h-x0)= (f(x0+h)-f(x0))/h) olarak bulursunuz hatta bu fonksiyonun secant çizgisidir. Buraya kadar kolaydı ortalama olan şeyleri bulmak kolaydır zaten, peki anlık değişimleri nasıl bulabilirsiniz?

(x0+h)’ın fonksiyonu kestiği noktaya Q ve x0’ın fonksiyonu kestiği noktaya P diyelim. Bizim de işimiz gücümüz yok tabii, x0’da ki anlık değişimi bulup anlık hızımızı öğrenmek istiyoruz…

(f(x0+h)-f(x0))/h) fonksiyonu bizim ortalama hızımızı verir yalnız Q noktasını P noktasına öyle çok yaklaştırırsanız ve aradaki mesafe 0’a yaklaşırsa bu seferde anlık hızımızı buluruz yani x0 daki teğetin eğimini elde etmiş oluruz ki bu da fonksiyonun x0’da ki türevidir ve f’(x0) olarak gösterilir. Yani siz zamanı ne kadar azaltırsanız (Q noktasını P noktasına ne kadar çok yaklaştırırsanız) bu size anlık şeyler hakkında daha iyi bir fikir verir ve 0’a çok çok yakınken 0 gibiyken anlık değerler verir.

tex2html_wrap_inline338

Yukarıdaki notasyonlar eğimin ne olduğunu söyler bu da belli noktadaki türevdir yani x->0’a giderken limitin aldığı değerdir.

Geldik integralin ne olduğunu anlatmaya, integral genel olarak fonksiyonun altında kalan alanı, o fonksiyonun  hacmini, belirli bir eksen etrafında belli bir derece döndürdükten sonra oluşan hacmi gösterir.

Bu fonksiyonu ele alalım bu seferde fonksiyonun x-eksenindeki iki nokta x ve x+h olsun, eğer altındaki alanı hesaplamak isterseniz yukarıdaki kırmızı dikdörtgen gibi dikdörtgenler çizip bunu lisede gördüğünüz sigma notasyonunda ifade edip toplamı bulursunuz ama fark ettiğiniz gibi toplam kesin olmaz ancak h mesafesini gittikçe sıfıra yaklaştırırsak ve bu ufacık dikdörtgenlerin alanlarını toplarsak bu bize tam anlamıyla y=f(X) fonksiyonunun altındaki alanı verir. Gösterimi de aşağıdaki gibidir.

Hazırlayan:Eyüp Gürses

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir